存在性问题之等腰三角形

【例题讲解】

【解析】

以A为圆心，AB长为半径画弧；以B为圆心，AB长为半径画弧，再作AB的垂直平分线分别找出交l?、l?点的个数即可.

【点评】

此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是掌握两边相等的三角形是等腰三角形.

【解析】

求出A、B的坐标，求出OA、OB、AB的值，有三种情况:①以A为圆心，以AB为半径交x轴于两点，AC=AB=5；

②以B为圆心，以AB为半径交x轴于一点(A除外)，AB=BC，OA=OC=3；

③作AB的垂直平分线交x轴于C，设C的坐标是(a，0)，AC=BC，求出C的坐标即可.

【点评】

本题考查了一次函数的图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质和勾股定理的应用，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，用了分类讨论思想，题目比较典型，有一定的难度.

【解析】

(1)过点D作DF⊥x轴于点F，由抛物线的对称性可知OF=AF，则2AF+AE=4①，由DF//BE，得到△ADF~△ABE，根据相似三角形对应边成比例得出AF/AE=AD/AB=1/2即AE=2AF②，①与②联立组成二元一次方程组，解出AE=2，AF=1，进而得到点A的坐标；

(2)先由抛物线过原点(0，0)，设此抛物线的解析式为y=ax2+bx，再根据抛物线过原点(0，0)和A点(-2，0)，求出对称轴为直线x=-1，则由B点横坐标为-4得出C点横坐标为2，BC=6.再由OB>OC，可知当△OBC是等腰三角形时，可分两种情况讨论:①当OB=BC时，设B(-4，y?)，列出方程，解方程求出y?的值，将A，B两点坐标代入y=ax2+bx，运用待定系数法求出此抛物线的解析式；②当OC=BC时，设C(2，y?)，列出方程，解方程求出y?的值，将A，C两点坐标代入y=ax2+bx，运用待定系数法求出此抛物线的解析式.

【点评】

本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到二次函数的对称性，相似三角形的判定与性质，运用待定系数法求抛物线的解析式，等腰三角形的性质，两点间的距离公式等知识，综合性较强，难度适中.运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键.

【点评】

此题主要考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式以及二次函数的最值问题，关键是根据题意做出辅助线，利用数形结合思想进行解答.

【点评】

本题考查了全等三角形的判断和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键.