行列式的性质 行列式的性质

行列式的定义

行列式是一个方阵所对应的一个实数值，用来表示一个线性变换对于空间的体积/面积的缩放倍数。行列式的定义即为：

对于一个n x n的方阵A，其行列式记作det(A)，其中：

当n=1时，det(A) = A

当n>1时，det(A) = ∑a_1i?(-1)¹⁺ⁱ?det(M_1i)

其中，M_1i表示将第1行和第i列删去后形成的(n-1) x (n-1)的子阵

行列式的性质

性质1：行列式与转置矩阵的行列式相等

设A为n x n的方阵，A^T为其转置矩阵，则有：

det(A) = det(A^T)

证明过程：

由行列式的定义，A的行列式即为∑a_1i?(-1)¹⁺ⁱ?det(M_1i)，而A^T的行列式即为∑a_i1?(-1)ⁱ⁺¹?det(M_i1)，两式完全相同，所以det(A) = det(A^T)。

性质2：某行乘以k，行列式也乘以k

将A的第i行乘以k（i为整数，1≤i≤n），设得到矩阵为B，则有：

det(B) = k?det(A)

证明过程：

将A的第i行进行k倍展开，得到展开式∑k?a_ij?A_ij(1≤j≤n)，其中A_ij为A第i行、第j列划去后的[(n-1)x(n-1)] 矩阵。将展开式的第i项改为k?∑a_ij?A_ij，则展开式变成∑k?a_ij?A_ij + k?(∑a_ij?A_ij)(i=2,3,...,n)，即det(B) = ∑k?a_ij?det(A_ij)。由于A_ij删去第i行后，得到的矩阵与A有相同的行列式，所以det(A_ij) = det(A)，即det(B) = k?det(A)。

性质3：某行加上另一行的k倍，行列式不变

将A的第i行加上A的第j行的k倍（i、j为整数，i≠j，1≤i，j≤n），得到矩阵B，则有：

det(B) = det(A)

证明过程：

行列式的展开式中，第i行与第j行只有A_ij一项与A_ji一项为非零，其余全部为0。对于A的第i行，将其加上A的第j行的k倍得到B的第i行，因此对于展开式中的A_ij一项，可以拆成A_ij + k?A_jj、–k?A_ii（其中A_jj即为A的第j行）。同理，对于展开式中的A_ji一项，可以拆成A_ji + k?A_ii、-k?A_jj。将这些更改后的项代入展开式，发现它们带有k系数，所以不影响展开式的值，即det(B) = det(A)。

性质4：行列式中某一列为0，则行列式的值为0

设A为n x n的方阵，其中的任意一列全为0，则有：

det(A)=0

证明过程：

如果A的一列全为0，则矩阵A中的某一行必然有相同的元素或全为0。根据矩阵中的行、列可互换，该行可以移到第一行。

然后就可以通过化行得到由A的子矩阵在行列式中的展开式。再根据行列式中某一行为0，则行列式的值为0可得引理的证明。

性质5：若方阵A中某两列的元素成比例，则行列式的值为0

设A为n x n的方阵，如果A中某两列的元素成比例，则有：

det(A) = 0

证明过程：

设A中第j列中的元素都是第k列的元素的a倍， j≠k，显然det(A) = det(M_jk)，其中M_jk是从A中删除掉第k行和第j列所得到的[(n-1) x (n-1)]子阵。由于A的第j列就是第k列的a倍数，所以M_jk代表的是一个方向重合的矩形，行列式为0。因此，可得det(A) = 0。

性质6：方阵A可逆的充要条件是det(A)≠0

设A为n x n的方阵，则有：

A可逆 ? det(A)≠0

证明过程：

必要性：如果A可逆，则存在与A逆矩阵B，使得A?B = B?A = E，其中E为单位矩阵。由性质2，有det(A?B) = det(A)?det(B)，而det(E) = 1，则det(A)?det(B) = 1，因此det(A) ≠ 0。

充分性：如果det(A) ≠ 0，则A的任意一行向量A_i与其他行向量线性无关。因此，可以通过初等行变换将A的第i行变成(0,0,...,0,1,0,...,0)，即该行向量只有第i个元素为1。根据这样的初等行变换，可以将A化为一个上三角矩阵，即A_U。由于行列式不变性，有det(A) = det(A_U) = a₁₁?a₂₂?...?a_nn ≠ 0，则a₁₁、a₂₂、...、a_nn均不等于0。因此，A_U中的对角线上所有元素都不为0，即A_U可逆。由于只是经过一系列初等变换得到的A_U，所以A也是可逆的。

行列式的性质

行列式是线性代数中一种重要的概念，它具有许多性质，可以方便地用来进行矩阵运算和解决线性方程组，下面将讨论行列式的一些性质。

行列式的定义

行列式是一个函数，其输入是一个矩阵，输出是一个标量。它可以表示为一个方阵中各元素的代数和与它们所代表的符号的乘积。

行列式的性质

性质一：行列式的值不变

矩阵经过基本行、列变换后，行列式的值不变。

性质二：行列式中某一行（列）的所有元素的倍数加到另一行（列）上，行列式的值不变

也就是说，行列式对于矩阵的列、行互换、行列相加不会改变其值。

性质三：如果矩阵的某两行（列）相同，则行列式的值为零

如果某两行或两列的元素完全相同，那么行列式的值为零，也就是说行列式的值受到行列式的某些行或列的限制。

性质四：行列式的任意两行（列）交换，其值变为相反数

交换行列式的任意两行或列后，其值变为原值的相反数。

性质五：行列式是线性的

如果将矩阵的某一行（列）乘以一个常数k，那么其行列式的值也会乘以k，也就是说行列式是线性的。

性质六：若矩阵中存在一个元素为0的行或列，则行列式的值为0

如果矩阵中存在一个元素为零的行或列，则行列式的值为零。这个性质在解决线性方程组时很有用。

性质七：行列式的积

行列式的积可以通过将两个矩阵相应位置元素的乘积相加得到，或者是将一个矩阵的每一行与另一个矩阵的每一列的乘积相加得到。这个性质可以用于解决线性方程组。

总结

行列式是线性代数中一个非常重要的概念，它具有许多性质。通过这些性质，我们可以方便地用行列式进行矩阵运算和解决线性方程组。

行列式的定义

行列式是一种将矩阵映射为标量的函数，它的定义与计算公式随矩阵的阶数而变化。对于二阶矩阵：

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$$

而对于三阶及以上矩阵，需要使用递推方式进行计算。

行列式的几何意义

行列式不仅是一种抽象的数学概念，还具有几何意义。在二维平面中，行列式的值可以表示由向量 $[a_{11},a_{21}]$ 和 $[a_{12},a_{22}]$ 组成的平行四边形的面积。而在三维空间中，行列式的值可以表示由向量 $[a_{11},a_{21},a_{31}]$，$[a_{12},a_{22},a_{32}]$ 和 $[a_{13},a_{23},a_{33}]$ 组成的平行六面体的体积。

行列式的性质

性质一：交换行或列会改变行列式的符号

交换行或列会改变行列式的符号，即 $|A| = -|A^\prime|$，其中 $A^\prime$ 表示交换行或列后的矩阵。

性质二：矩阵转置不影响行列式的值

矩阵转置不影响行列式的值，即 $|A| = |A^T|$。

性质三：行或列成比例，则行列式为0

如果矩阵的某一行或列的元素成比例，则行列式的值为0。

性质四：对某一行或列进行数乘，行列式的值也相应进行数乘

如果对矩阵的某一行或列进行数乘，则行列式的值也相应进行数乘。

性质五：行列式对每一行的线性组合等于每一行对应元素乘上它们所在行的代数余子式之和

行列式对每一行的线性组合等于每一行对应元素乘上它们所在行的代数余子式之和，即：

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ b_{11}+ca_{11} & b_{12}+ca_{12} & b_{13}+ca_{13} \\ c_{11}+da_{11} & c_{12}+da_{12} & c_{13}+da_{13} \end{vmatrix} = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13}$$

其中 $A_{ij}$ 表示矩阵缺失 $i$ 行 $j$ 列所得的余子式。

行列式的应用

行列式在线性代数中有着广泛的应用，如解线性方程组、判断矩阵的可逆性、计算矩阵的逆等。此外，在微积分中也经常使用行列式来计算多元函数的雅可比行列式。

在计算机科学中，行列式算法也被广泛应用于图形学领域，用于计算三维对象的体积和二维对象的面积，从而实现三维建模、图形渲染、计算机游戏等应用。