角平分线的性质 角平分线的基本性质

角平分线的性质

角平分线是指从一个角的顶点开始，把这个角平分成两个相等的角的直线或射线。在几何学中，角平分线是一个重要的概念，它具有许多重要的性质和应用。

角平分线的基本性质

首先，角平分线把一个角分成两个相等的角。这是角平分线最基本的性质。具体来说，如果从顶点 A 按需求绘制角 ABC 的角平分线 AD，则角 BAD 和角 CAD 的大小相等。

其次，角平分线在角的内部与角边相交而产生的两个新角是互余角。这意味着当两个角的大小相加时，它们的和等于 180 度。具体来说，设角 ABC 有平分线 AD，那么有∠BAD + ∠CAD = ∠BAC，且∠BAD = ∠CAD 。

角平分线的应用

角平分线在几何学中有很多应用。其中一个最直接的应用是帮助确定等分线。因为一个角的平分线和一个线段的中垂线一样可以被用来寻找一个线段的等分线。这可以很容易地使用角平分线的性质来证明。对于一个三角形 ABC，如果角 BAC 有一条径线 AD，则线段 BD 就等于线段 CD。

另一个重要的应用是在解决相关的几何问题时，可以使用角平分线的性质来帮助确定角的度数。同样以一个三角形 ABC 为例，如果我们知道角 BAC 的度数，并且知道其中一个角平分线的长度，就可以使用三角函数来确定角 ABC 和角 ACB 的度数。

结论

在几何学中，角平分线是一个常见的概念，它具有许多重要的性质和应用。通过使用这些性质和应用，我们可以解决许多与角和线段相关的问题。所以熟练掌握角平分线的性质对于理解几何学是非常重要的。

角平分线的性质

角平分线是指将一个角分成两个相等的角的一条线段，由于这条线段是将角度划分成两个相等的部分，因此角平分线作用很大，深受诸多数学爱好者的喜爱。下面我们来详细探讨一下角平分线的性质。

性质一：角平分线上的点到角的两侧的距离相等

假设有一条角平分线BD把角ABC分成两个相等的角ACB和CBD。证明BD到角ABC的两条边AB和AC的距离相等。证明如下：

设BD与AC交于点E，若AE=EC，则△ABE≌△CBD（证明略），则∠ABE=∠CBD。同理，当AE不等于EC时，可证得∠ABE和∠CBD相等。由于它们是相邻补角，也就是说它们的对边距离相等，即BD距离AB和BD距离AC的距离相等。

性质二：一条直线与角平分线相交，且在角的两侧，则这条直线上的任意一点到这两条边的比等于角的两个相邻边的比

证明如下：

设角ABC的角平分线为BD，交过BD的直线为LM，其中L在AC上，M在AB上，交AC于点N，AB于点K。即：LN∥AB，KM∥AC。则 AN/NC=AK/KB

证明过程如下：

由于BD平分∠ABC，因此∠ABE=∠CBD。又由于LM∥AB、BD与LM相交于E，因此 AE/EB=AL/LM，即AL=AE×LM/EB。同理，将∠CBD平分可得CE/ED=CM/MK，即KC=CD×MK/CE。所以，AN/NC=AE/EC，AK/KB=EK/KC，将AL和KX用E表示，得到AN/NC=AE/EC=EK/KC=AK/KB。

性质三：角平分线与三角形两边的交点到这两边的距离成比等于这两条边的比

证明如下：

设△ABC的角平分线为AD，交BC于点E，则 AB/AC=BD/DC=BE/EC。

证明过程如下：

由于AD是∠A角平分线，所以∠BDE=∠CDE，所以单独考虑△BDE，用上的一条比例公式即可得证AB/AC = BD/DC。由于AD是线段BD所在的直线，所以AB/AC = BD/DC = BE/EC。

性质四：外心所在的直线是某个角的平分线

证明如下：

设在△ABC的外接圆上的点为O，则∠AOC的补角是∠B，所以，∠AOB = 2∠BAC，即OB是△ABC中∠BAC的角平分线。

以上就是角平分线的几个常见性质，这些性质十分有用，在解决不同的几何问题时，可以极大地简化解题过程，为数学爱好者们提供很多方便。

角平分线的性质

角平分线是高中数学中经常涉及的一个概念，其性质有着广泛的应用。在本文中，将对角平分线的定义、性质及应用进行详细的阐述。

定义

角平分线是指一个线段，它从一个角的顶点开始，且将这个角分成两个相等的角。通俗的说，它就是角内的一条线段，它把这个角分成了两个相等的部分。

性质一：角平分线上的点与角的相似性质

角平分线的第一个重要性质是，它所包含的角与另一个相似的角具有相同的比例关系。例如，如果一条角平分线分割的角为∠A，则有如下比例关系：

其中AB是平分线，BD、BC分别与AC、AB成相似角。因此，CD/BD = AC/AB。同时，由于BD = DC，因此CD/BD = 1，从而我们得到AC/AB = 1。这表明，由平分线分割的两个相似角之间有着比例关系。

性质二：角平分线的反演定理

角平分线的一个非常有用的性质是反演定理。该定理指出，如果一条直线穿过一个三角形的顶点且角度相等，那么该直线就可以被认为是该三角形的角平分线。

例如，在下图中，如果BD是三角形ABC的角平分线，则有BD是∠ABC的平分线与BD是∠ABD的平分线是等价的。这个反演定理可以用来解决许多关于角平分线的问题。

性质三：外角平分线定理

对于一个三角形，其外角平分线定理指出，如果从一个顶点作出一个外角平分线，则它分成的两个相邻内角的比值等于另一个角的比值。

假设在下图中，∠ACD 和 ∠CED 的比例等于 ∠ABC 的比例，则 AD 是 ∠BAC 的外角平分线。

性质四：垂直平分线定理

垂直平分线是平面上的一条直线，如下图所示：

该直线将线段 AB 平分，并且垂直于线段 AB。此外，该垂直平分线还将含有 AB 端点 A 和 B 的所有线段都平分。因此，它的性质可以表示为，垂直平分线将一个线段平分并垂直于该线段。

应用

角平分线的性质有着广泛的应用。例如，在三角形中，如果我们已知一条角平分线及其相应的比例，就可以通过比例关系来解决有关角度的问题。同样的，垂直平分线也可用于解决与线段有关的问题。

除此之外，角平分线与垂直平分线在各种几何形状中也有着重要的应用。例如，它们可以用于圆的构造问题，如求出一个与给定线段相交的圆的半径。对于其他几何形状，角平分线和垂直平分线的性质也有着重要的应用。

结论

通过本文的介绍，我们可以看出角平分线的性质在几何学中有着广泛的应用。同时，我们也可以看到，这些性质适用于各种不同的几何形状。因此，对于在学习中需要使用到平分线性质的同学，深入理解这些性质将会有助于解决各种与几何有关的问题。